5 VI 2022

Zadanie 1 zestaw 20 dodatkowy.

Niech p oznacza zdanie ”pan E napisze podanie”, 
niech q oznacza zdanie ”pani V złozy wniosek”, 
a r zdanie ”pan X sie odwoła”.

a) p => (qvr).

Nawias jest niepotrzebny, zatem rozwiazanie jest proste.

Rozw: JEŚLI PAN E NAPISZE PODANIE, TO PANI V ZŁOŻY WNIOSEK LUB PAN X SIĘ ODWOŁA.

b) p^(q=>r).

Czy nawias jest potrzebny? Tak, bo po usunięciu nawiasu wykonamy najpierw koniunkcję.

       p                          q
PAN E NAPISZE PODANIE I JEŚLI PANI V ZŁOŻY WNIOSEK, TO PAN X SIĘ ODWOŁA. 
                    r 

UWAGA. zdanie (q=>r)^p to jest to samo zdanie co w b) (bo koniunkcja jest przemienna)

Ale jeśli go napiszemy po polsku (zamiast symbolicznie) to otrzymamy coś innego.

JEŚLI PANI V ZŁOŻY WNIOSEK, TO PAN X SIĘ ODWOŁA I PAN E NAPISZE PODANIE. 

Czyli zdanie q=>r^q.

c) (p=>q)=>r 

Z tego, że jeśli p, to q wynika r.

Będzie to poprawne (trzeba za p, q, r) wstawić odpowiednie zdania.

Zgrabniejszą metodą jest zamiana wewnętrznej implikacji na alternatywę;

a=>b = a' v b.

Otrzymamy

(p'vq)=>r.

JEŚLI PANE NIE NAPISZE PODANIE LUB PANI V ZŁOŻY WNIOSEK, TO PAN X SIĘ ODWOŁA.

Zadanie 2 zestaw 20.

a)
Proponowane rozwiązanie.

Poszukujemy kandydata do pracy spełniającego jednocześnie dwa warunki:

WARUNEK 1. Skończony kurs komputerowy z bazy danych lun skończone studia podyplomowe z logistyki zaopatrzenia

WARUNEK 2. Skonczone studia podyplomowe z zarządzania w oświacie.

b)
Poszukujemy kandydata do pracy spełniającego przynajmniej jeden z dwóch poniższych warunków:

WARUNEK 1. Skończony kurs komputerowe z bazy danych.

WARUNEK 2. Skończone studia podyplomowe z logistyki zaopatrzenia i skończone studia podyplomowe z zarządzania w oświacie.

p - PAN G WYGRA PROCES
q - PANI O BEDZIE ŚWIADKIEM
r - PAN Y ZŁOŻY ODWOŁANIE

Nasze zdanie.
(qvr')=>p

a=>b = a'vb.

(qvr')' v p.

(avb)' = a'^b'

(q'^r) v p.

p v (q'^r).

PAN G WYGRA PROCES LUB JEDNOCZEŚNIE
PANI O NIE BĘDZIE ŚWIADKIEM I PAN Y ZŁOŻY ODWOŁANIE.

Ten nawias jest wymuszony słowem jednocześnie. 

(qvr')=>p

avb = a'=>b = b'=>a

Lepszy wzór 2.

(r=>q)=>p.

Z tego, że jeśli r, to q wynika p.

albo

Jeśli z r wynika q, to p.
 
Jednak chyba lepiej bedzie brzmiało pierwsze.

p - PAN G WYGRA PROCES
q - PANI O BEDZIE ŚWIADKIEM
r - PAN Y ZŁOŻY ODWOŁANIE

Z tego, że jeśli Pan Y złoży odwołanie, to pani O bedzie świadkiem wynika, że pan G wygra proces. 

Zadanie 4 zestaw 20.

a)
p' => (q' v p), przy czym nawiasy nie są konieczne.

p  q  p'  q'  q'vp   p'=>(q'vp)
0  0  1   1     1        1
0  1  1   0     0        0
1  0  0   1     1        1
1  1  0   0     1        1

Jest to funktor f3.

f2 to alternatywa, czyli rozwiazaniem będzie:

WYGRA PAN A LUB WYGRA PAN W.

f9 to jest równoważność, ale nie możemy jej użyć.

Jednym z najlepszych sposobów wyrażania równoważności bez jej używania jest następujący:

p <=> q to to samo co

(p=>q) ^ (q=>p).

RÓWNOWAŻNOŚĆ TO DWIE IMPLIKACJE.

W matematyce wiele twierdzeń ma postać równoważności: np.

Np. twierdzenie Pitagorasa można sformułowac tak:

Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy suma kwadratów przyprostokatnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Mamy twierdzenie p<=>q.

Przy takich twierdzeniach bardzo rzadko udaje się to twierdzenie udowodnić pokazując od razu równoważność
 
Prawie zawsze dowód przebiega w dwóch krokach:

KROK 1: p=>q
KROK 2: q=>p.

(p=>q) ^ (q=>p)

a dalczego nawias nie jest np tak?

p=>[(q ^ q)=>p]

JEŚLI WYGRA PAN A, TO WYGRA PAN W I JEŚLI WYGRA PAN W, TO WYGRA PAN A.

Zauważmy, że gramatyka jezyka polskiego wstawia nawiasy tam gdzie trzeba.

f11 to jest zdanie p'.

czyli NIE WYGRA PAN A.

Np.q' to f10.

Np. jak stworzyć f13? Odp: p ^ q'.
f14: p' ^ q. f15: p' ^ q'.

f5: (p^q)'; p'vq'

<=>

Koniunkcję (inne też, ale trochę trudniej) można zastąpić wzorem algebraicznym:

p*q